Overview: Motivating the harmonic oscillator

مشکل کمی متوسط از یک انبوه در چشمه تقریباً در هر کلاس فیزیک مقدماتی پوشیده شده است. این ممکن است عجیب به نظر برسد. ما تقریباً هرگز با یک انبوه در زندگی روزمره روبرو نشده ایم و مطمئناً در زیست شناسی نیستیم. چرا باید مراقبت کنیم؟دلیل اینکه ما این مشکل را در چنین جزئیات عالی انجام می دهیم - با توجه به چندین سیستم مشابه ، اضافه کردن میرایی ، اضافه کردن نیروهای محرک ، انجام تمام ریاضیات - به این دلیل است که ، در حالی که توده روی یک سیستم بهاری به ندرت دیده می شود ، نوسانات در همه جا وجود دارد. آنها در ارگانیسم های بیولوژیکی در تشخیص صدا در گوش ، ضرب و شتم قلب رخ می دهند و آنها پدیده مهمی در عملکرد مغز هستند. نوسان سازهای همراه (به ویژه موارد غیرخطی) اساس مدلهای مهم عملکرد شبکه های عصبی در مغز هستند. نوسانات حتی در انواع واکنشهای شیمیایی مشاهده می شود. مدل کوچک متوسط ما مدل اسباب بازی است که بینشی در مورد ریاضیات ارائه می دهد که همه نوسانات را توصیف می کند. شاید حتی مهمتر از آن ، ریاضی یک نوسان ساز منفرد به نوسانگرهای بی نهایت بسیاری گسترش یافته است تا به ما امکان دهد ریاضیات امواج از جمله صدا ، نور و انتشار سیگنال های عصبی را توسعه دهیم. ابزارهای قدرتمند تجزیه و تحلیل طیفی و فوریه ، که در بسیاری از کاربردهای بیولوژیکی مورد استفاده قرار می گیرند ، بر اساس ریاضی نوسان ساز هارمونیک ساده مانند توده در یک بهار است.

فیزیکی که منجر به نوسان می شود

1. این سیستم دارای یک نقطه پایدار است که در آن تمام نیروهای موجود در سیستم متعادل هستند (نیروی خالص = 0).
2. اگر سیستم به دور از آن نقطه پایدار (به هر دلیلی) منحرف شود ، نیرویی را تجربه می کند که تمایل دارد آن را به سمت جایی که شروع شده است ، بازگرداند.

این نیرو تمایل دارد سیستم را به سمت نقطه پایدار خود تسریع کند. اگر حرکت سیستم توسط هر چیزی مانند قانون دوم نیوتن اداره شود ، این نیرو باعث می شود که آن را به سمت نقطه پایدار تسریع کند. با نزدیک شدن به نقطه پایدار ، نیروی خالص ضعف می کند زیرا در نقطه پایدار ناپدید می شود. اما اگر جسم در حال حرکت باشد ، همچنان از طریق نقطه پایدار حرکت می کند ، متوقف نمی شود ، زیرا هیچ نیرویی برای متوقف کردن آن وجود ندارد. این به ما سومین مفهوم اصلی ما برای نوسان می دهد:

1. این سیستم نقطه پایدار را تحت الشعاع قرار می دهد. سپس این نیرو برای کند کردن آن ایجاد می شود ، اما قبل از آن که نیمی دیگر از نوسان را نرود. سپس اوضاع تکرار می شود.

ما در موارد خاص این کار را با جزئیات انجام خواهیم داد تا در این صورت ممکن است بیشتر حس کند.

اگر یک نکته پایدار وجود داشته باشد ، انرژی بالقوه سیستم باید مانند چاه با حداقل نقطه به نظر برسد. سیستم (کلاسیک) در زمان ثبات در حداقل نقطه قرار می گیرد.(یک سیستم کوانتومی هرگز نمی تواند دقیقاً در یک نقطه حداقل در حالت استراحت قرار بگیرد ، به همین دلیل ما حالت های مولکولی خود را دقیقاً در انتهای چاه بالقوه ترسیم می کنیم.) اگر نیروی ترمیم می تواند به صورت خطی رفتار شود - یا به طور معادل ، اگرانرژی بالقوه را می توان به عنوان یک پارابولا درمان کرد - سپس حرکت را هارمونیک خوانده می شود. آن را "هارمونیک" نامیده می شود زیرا راه حل قانون دوم نیوتن (معادله دیفرانسیل مرتبه دوم که حرکت شی را تعیین می کند) سین ها و cosines زمان با یک فرکانس خاص هستند - دقیقاً مانند نتیجه تولید شده توسط یک موسیقی خالص موسیقی که در a شنیده می شودنکته خاص در فضا. ساده ترین نمونه این یک توده در یک چشمه است ، بنابراین ما با جزئیات عالی و غم انگیز آن مثال را با آن خواهیم داشت.

ریاضی تعمیم می یابد!

اما نوسان هارمونیک بسیار فراتر از مورد توده در بهار است. تقریباً برای هر وضعیت پایدار ، انرژی برای انحراف به اندازه کافی کوچک در اطراف نقطه پایدار می تواند با یک درجه دوم (پارابولا) تقریب شود و این معادل جرم در چشمه است. آنچه در مدل سازی ریاضی می آموزیم این است

اگر معادلات دو سیستم مختلف یکسان باشند ، هر یک به عنوان یک قیاس خوب برای دیگری عمل می کنند.

از آنجا که معادلات توصیف توده در یک بهار در بسیاری از موارد دیگر ظاهر می شوند ، یک قیاس مفید و یک ابزار مفهومی ارزشمند برای داشتن ابزار شما است.

جو ردیش 3/11/12 ، 5/27/19

دنبال کردن

• توده در چشمه
• آونگ
• نوسان سازهای مرطوب
• نوسان سازهای رانده شده